過去問.JP

図1は、ある地方の日単位の天気の移り変わりを示したものであり、数値は翌日の天気の変化の確率を表している。

ある日の天気が雨のとき、2日後の天気が晴れになる確率は幾らか

この設問の例のように、将来の状態が現在の値だけで決定され、過去の挙動と無関係であるという性質を持つ確率過程のことをマルコフ過程といいます。

問題設定

ある地方の日単位の天気の移り変わりを考えます。遷移確率は次のように与えられます。

P =
| 0.4 0.3 0.3 |
 | 0.3 0.4 0.3 |
 | 0.3 0.5 0.2 |

雨の日の2日後が晴れであるときには、次の3つの経路をたどる可能性があります。

1. 雨 → 晴れ → 晴れ
2. 雨 → 曇り → 晴れ
3. 雨 → 雨 → 晴れ

確率計算

各経路の発生確率は以下のように計算できます。

• [雨 → 晴れ] × [晴れ → 晴れ] = 0.3 × 0.4 = 0.12
• [雨 → 曇り] × [曇り → 晴れ] = 0.5 × 0.3 = 0.15
• [雨 → 雨] × [雨 → 晴れ] = 0.2 × 0.3 = 0.06

すべての確率を足し合わせると、

0.12 + 0.15 + 0.06 = 0.33

結論

したがって、図の条件で 雨の日の2日後が晴れである確率は 0.33 (33%) です。